タイルから正方形を取ってみる
図のように、縦に枚、横に枚、合計枚のタイルが並んでいる状態を考えましょう。その中から「正方形」をできるだけ取ってみます。の場合は個取ることができますね。
さて、これから一般的な場合の「正方形」の取り方を考えていきます。方法はいろいろあると思いますが、僕のやり方はこうです(以下、とする)。
「まず、1辺の長さがの正方形を縦方向に取れるだけ取る方法は通り。次にこの正方形を横方向に取れるだけ取る方法は通り。これらの積、すなわちがこの正方形を取れる個数となる。これをまで足し合わせた値が求めたかった個数である。」
これを数式で表すとこうなります。
和記号を無くしてもっと綺麗に表せそうな気がしますが思いつかないので放っておきます。
綺麗に表せるのは、つまり正方形の場合で、式はこうなります。
最右辺では平方数の和を表す公式(有名なやつ)を用いました。
タイルから正方形を取ろうとしたら平方数が絡んでくるなんて少し驚き(゚ロ゚)